Eigenwertproblem

Eigenwertproblem,

 

allgemein die Fragestellung nach den Lösungen einer Operatorgleichung Ly = λ y (Eigenwertgleichung), in der L im Allgemeinen ein linearer Operator in einem linearen Raum R mit den Elementen y ist. Die Werte λ, für die in R nichttriviale Lösungen (y ≠ 0) existieren, bezeichnet man als Eigenwerte des Operators, die Lösungen y selbst als Eigenlösungen, speziell als Eigenfunktionen oder Eigenvektoren. Beispiele: 1) Ist L eine lineare Abbildung auf einem n-dimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese durch eine (n, n) - Matrix A beschreiben. Die Lösungen λ (Eigenwerte von A ) der Gleichung Ay = λy sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. 2) Ist L der Differenzialoperator —d² /dx², so ergibt sich die Operatorgleichung zu —d²y /dx² = λy oder als die Schwingungsgleichung y'' + λy = 0. Sind Randbedingungen vorgegeben (z. B. bei einer schwingenden Saite y (0) = 0 und y (l) = 0), so sind die Eigenwerte λ_n = n²π² /l² und die zugehörigen Eigenfunktionen y_n = sin (nπx /l).